Answer for HW9

1 阻尼振动

参见朗道 $§ 26$

注意：鞠国兴的解少了一个齐次通解，即 $\ddot{x} + 2 λ \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0$ 的解（分为欠阻尼、临界阻尼、过阻尼三种情形）。

如果没学过《数学物理方法》，不建议做这题。

对于微分算符 $L = \frac{d^{2}}{d t^{2}} + 2 λ \frac{d}{d t} + ω_{0}^{2}$ ：

L [x] = \ddot{x} + 2 λ \dot{x} + ω_{0}^{2} x = \frac{f}{m} \cos (γ t)

根据基本解方法，格林函数 $G (t, t^{'})$ 满足以下方程：

L G = δ (t - t^{'})

在物理中 $t^{'}$ 是激励出现(比如电荷、驱动力、热流)的时刻， $t$ 是系统响应(比如电磁场 $E$ 的改变)的时刻，因此 $t \geq t^{'}$ 。现在有两条路线可以求出格林函数：

齐次("homogeneous")方程 $\ddot{x} + 2 λ \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0$ 的解为：

x_{h} (t) = C_{1} e^{- λ t} \cos (ω_{d} t) + C_{2} e^{- λ t} \sin (ω_{d} t), with ω_{d} = \sqrt{ω_{0}^{2} - λ^{2}}

注意，格林函数方法是不能求解齐次方程的，除非给定初始和边界条件。可以发现，在 $t > t^{'}$ 时，格林函数满足的方程就是齐次方程，所以可以假设

G (t, t^{'}) = e^{- λ (t - t^{'})} [A \cos (ω_{d} (t - t^{'})) + B \sin (ω_{d} (t - t^{'}))]

因果律要求 $t \geq t^{'}$ ，否则不存在物理解(格林函数为 0)，所以可以假设 $G (t = t^{' -}, t^{' -}) = 0$ 得到 $A = 0$ 。进一步要求格林函数为有界连续函数，所以

\int_{t^{' -}}^{t^{' +}} 2 λ \dot{G} d t = \int_{t^{' -}}^{t^{' +}} ω_{0}^{2} G d t = 0

\Rightarrow \dot{G} (t^{' +}) - \dot{G} (t^{' -}) = \int_{t^{' -}}^{t^{' +}} (\ddot{G} + 2 λ \dot{G} + ω_{0}^{2} G) d t = \int_{t^{' -}}^{t^{' +}} δ (t - t^{'}) d t = 1

根据该跳跃条件得到

B = \frac{1}{ω_{d}}

于是：

G (t, t^{'}) = \frac{e^{- λ (t - t^{'})}}{ω_{d}} \sin (ω_{d} (t - t^{'}))

对上式进行傅里叶变换，得到：

[- ω^{2} + 2 λ (i ω) + ω_{0}^{2}] \tilde{G} (ω) = e^{- i ω t^{'}} \Rightarrow \tilde{G} (ω) = \frac{e^{- i ω t^{'}}}{ω_{0}^{2} - ω^{2} + i (2 λ ω)}

然后傅里叶反变换，以得到格林函数：

G (t, t^{'}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} G (ω) e^{i ω t} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{i ω (t - t^{'})}}{ω_{0}^{2} - ω^{2} + i (2 λ ω)} d ω

这是一个复积分，被积函数存在奇点 $ω_{0}^{2} - ω^{2} + i (2 λ ω) = 0$ 。假设系统处于欠阻尼 ( $0 < λ < ω_{0}$ ) 状态，这是最常见的情况，那么得到的奇点都在上半复平面：

ω_{1, 2} = \pm ω_{d} + i λ

因果律要求 $t \geq t^{'}$ ，所以根据留数定理：

\begin{aligned} G (t, t^{'}) & = \frac{1}{2 π} (2 π i) \sum_{k = 1}^{2} Res (ω_{k}) = \frac{1}{2 π} (2 π i) \sum_{k = 1}^{2} {\frac{e^{i ω (t - t^{'})}}{\frac{d}{d ω} (ω_{0}^{2} - ω^{2} + i 2 λ ω)} |}_{ω = ω_{k}} \\ \overset{一 通 爆 算}{=} \frac{e^{- λ (t - t^{'})}}{ω_{d}} \sin (ω_{d} (t - t^{'})) \end{aligned}

与方法一一致。特解(稳态解) $x_{p} (t)$ 由积分 $x_{p} (t) = \int_{- \infty}^{t} G (t, t^{'}) F (t^{'}) d t^{'}$ 给出：

\begin{aligned} x_{p} (t) & = \int_{- \infty}^{t} \frac{e^{- λ (t - t^{'})}}{ω_{d}} \sin (ω_{d} (t - t^{'})) \cdot \frac{f}{m} \cos (γ t^{'}) d t^{'} \\ \overset{二 通 爆 算}{=} \frac{f / m}{\sqrt{(ω_{0}^{2} - γ^{2})^{2} + (2 λ γ)^{2}}} \cos (γ t - ϕ) \end{aligned}

滞 后 相 位 : ϕ = {\begin{cases} \arctan (\frac{2 λ γ}{ω_{0}^{2} - γ^{2}}) & (ω_{0}^{2} > γ^{2}) \\ \arctan (\frac{2 λ γ}{ω_{0}^{2} - γ^{2}}) + π & (ω_{0}^{2} < γ^{2}) \end{cases}

最终解为 $x = x_{p} + x_{h}$ 。

格林函数的一些其他的例子参见 Green Function。

参见朗道 $§ 22$ 习题 2